电子01-复数数学01基础

本文讲复数在电子线路中分析的作用以及复数的两种形式的相互转换,根据自己的理解进行整理以供自己后续参考;

1. 复数的基本形式

$$Z = a + bj = r\cos\theta + j\sin\theta$$

如下图所示

1.1 两种公式的互相转换

• 基本表达式转角度描述(a)图转(c)图 $$r = \sqrt{ a^2 + b^2}$$ $$\theta = \arctan(\frac{b}{a})$$
• 角度描述转基本表达式(c)图转(a)图 $$a = r\cos\theta$$ $$b = r\sin\theta$$

1.2 角度表达式的缩写

$$Z = r\cos\theta + j\sin\theta \quad缩写为\quad\ Z = r\angle\theta$$

2. 复数两种表达式的优点

2.1 复数的加减法

$$Z_1 = a_1 + jb_1 \quad\quad Z_2 = a_2 + jb_2$$

推导出

$$Z_1 \pm Z_2 = (a_1 \pm a_2) + j(b_1 \pm b_2)$$

2.2 复数的乘除法

$$Z_1 = r_1\angle\theta_1 \quad\quad Z_2 = r_2\angle\theta_2$$

推导出这里的重点就是乘除法在角度计算时转成了加减法

$$Z_1 \times Z_2 = (r_1 \times r_2)\angle(\theta_1+\theta_2)$$ $$\frac{Z_1}{Z_2} = (\frac{r_1}{r_2})\angle(\theta_1-\theta_2)$$

3. 信号的复数表示(重点)

如下图所示的电压信号:

其中信号用复数的描述如下

$$V_s = 1V\angle 0^{\circ}$$ $$V_a = 0.5V\angle 0^{\circ}$$

可以想想 $V_b$ 怎么表示